변동(variation)은 평균에서의 편차의 제곱의 합이며 확률변수입니다. 변동은 편차제곱의 합으로 표현되므로 양수이고 집단의 크기도 영향을 미칩니다. 예를 들어, 표본의 크기가 커지면 표본의 변동도 커집니다.

확률변수, $Y$를 종속변수(반응변수)로 하고 명목형 변수 $X$를 독립변수(설명변수)로 할 때 종속변수의 편차제곱$(Y-\mu_Y)^2$은 확률변수입니다. 확률변수 $Y$가 실현된 집단이 한 명목형 변수($X$)에 따라 독립된 부분집단(Group)으로 나누어지고 $i$번째 부분집단의 확률변수를 $Y_i$라 할 때 확률변수($Y_i$)의 편차제곱인 $(Y_i-\mu_{Y_i})^2$도 확률변수가 됩니다.

$i$번째 부분집단의 표본분산인 $S_{Y_i}^2$은 표본평균인 $\bar {Y_i}$를 기준으로 하는 편차제곱의 평균이며 확률변수입니다.  각 부분집단의 표본의 분산을 확률변수 $S_{Y_1}^2$, $S_{Y_2}^2$ , … , $S_{Y_i}^2$로 나타내고 각 부분집단의  모분산은  $\sigma_{Y_1}^2$, $\sigma_{Y_2}^2$ , … , $\sigma_{Y_i}^2$로 나타냅니다. 

만일, 여러 부분집단의 평균이 같다고 가정하면, 다음식을 성립하며 $\chi^2$  확률분포를 나타냅니다.

$$(n_1 + n_2 + , … , + n_i – i) \dfrac {S_Y^2}{\sigma_Y^2} =(n_1-1)\dfrac{S_{Y_1}^2}{\sigma_{Y_1}^2}+(n_2-1)\dfrac{S_{Y_2}^2}{\sigma_{Y_2}^2}+, … , (n_i-1)\dfrac{S_{Y_i}^2}{\sigma_{Y_i}^2}\sim\chi^2$$

여기서,  $n_1, n_2, … , n_i$는 각 부분집단의 표본크기

$i$는 부분집단수

$\chi^2$의 자유도는 $n_1 + n_2 +, … , n_i – i$

$S_Y^2$는 전체집단의 표본분산

$\sigma_Y^2$는 전체집단의 모분산

$S_{Y_1}^2$, $S_{Y_2}^2$ , … , $S_{Y_i}^2$는 각 부분집단의 표본분산

$\sigma_{Y_1}^2, \sigma_{Y_2}^2, … , , \sigma_{Y_i}^2$는 각 부분집단의 모분산

표본분산의 통합분산을 도입하면 다음식과 같습니다.

$$(n_1-1)\dfrac{S_{Y_1}^2}{\sigma_{Y_1}^2}+(n_2-1)\dfrac{S_{Y_2}^2}{\sigma_{Y_2}^2}+, … , (n_i-1)\dfrac{S_{Y_i}^2}{\sigma_{Y_i}^2} \approx (n_1 + n_2 + , … , + n_i – i) \dfrac {S_p^2}{\sigma_Y^2} $$

각 부분집단의 변동은 집단크기에 따라 다르지만 모분산은 같다고 모델링할 수 있고 다음식으로 표현합니다.

$$\sigma_{Y}^2 = \sigma_{Y_1}^2 = \sigma_{Y_i}^2$$

따라서, 전체집단을 이루는 각 부분집단이 독립일 경우, 전체집단의 $\chi^2$은 각 부분집단의 $\chi^2$의 합과 같습니다. 전체집단의 표본통합분산($S_p^2$)은 각 부분집단의 표본분산의 가중평균으로 볼 수 있습니다. 여기서 가중은 자유도의 비로 주어집니다.

$$({n_1}+{n_2}+, … , +{n_i}-i){S_p^2}∼({n_1}-1)S_{Y_1}^2+({n_2}-1)S_{Y_2}^2, … , ({n_i}-1)S_{Y_i}^2$$

$$S_p^2=\dfrac{n_1-1}{n_1+n_2+, … , +n_i-i}{S_{Y_1}^2}+\dfrac{n_2-1}{n_1+n_2+, … , +n_i-i}{S_{Y_2}^2}+, … , +\dfrac{n_i-1}{n_1+n_2+, … , +n_i-i}{S_{Y_i}^2}$$

여기서,  $n_1, n_2, … , n_i$는 각 부분집단의 표본크기

$S_p^2$는 전제집단의 표본분산의 통합분산(pooled variance)

$S_{Y_1}^2, S_{Y_2}^2, … , S_{Y_i}^2$는 각 부분집단의 표본분산

전체집단의 모평균을 기준으로 구한 부분집단의 변동은 확률변수 카이제곱($\chi^2$)으로 표현할 수 있습니다. 그리고 각 부분집단의 모평균을 기준으로 하는 변동도 확률변수이며 각각 $\chi_1^2$, $\chi_2^2$ , … ,  $\chi_i^2$로 표현합니다. 그리고 $X^2$대신에 그리스문자인 $\chi^2$을 사용하는 이유는 기준이 0이 아니고 집단의 모평균임을 나타내기 위함입니다.

$$(n_1 + n_2 + , … , + n_i – i) \dfrac {S_Y^2}{\sigma_Y^2}=(n_1-1)\dfrac{S_{Y_1}^2}{\sigma_{Y_1}^2}+(n_2-1)\dfrac{S_{Y_2}^2}{\sigma_{Y_2}^2}+, … , (n_i-1)\dfrac{S_{Y_i}^2}{\sigma_{Y_i}^2}$$

윗식에서 각 부분집단의 표준화 스케일러는 다음과 같습니다.

$$ \dfrac{\sigma_{Y_i}^2}{(n_i – 1)}$$

모집단에서 추출한 표본의 표본평균의 오차(Standard Error of Mean)의 추정량(Estimator)은 다음과 같습니다.

$$\sigma_{\bar X} = \sqrt{\rm {Var}[\bar X]} = \dfrac { \sigma}{\sqrt {n}}$$

모집단에서 크기가 $n$인 표본을 추출하는 모델에서 확률변수 카이제곱 $\chi_{n-1}^2$은 다음과 같습니다.

$$(n-1)\dfrac{S^2}{\sigma^2} ∼ \chi_{n-1}^2$$

여기서, $\chi_{n-1}^2$의 자유도는 $(n – 1)$