모집단에서 집단간분산과 집단내분산이 동일해지는 경우는?

모집단내 각 집단의 모평균이 같을 때 입니다.

이 경우, 집단간분산과 집단내분산은 모집단의 분산을 추정합니다.

무한 모집단(population) 내 각 집단(group)의 크기도 무한대입니다.

모집단내 집단의 변동

모집단에서 무작위로 표본을 추출할 때, 그 표본이 충분히 크면, 즉, 표본의 크기가 무한대에 가까워지면, 그 표본은 모집단의 특성을 정확하게 반영합니다. 아찬가지로 모집단내 집단 간의 평균이 같을 때 집단간 변동의 차이는 무작위 변동에 의한 차이에 불과하게 됩니다.

집단간분산은 각 집단의 평균들이 전체 평균과 얼마나 차이가 있는지를 나타내는 것이고, 집단내분산은 각 집단 내 개별 데이터가 그 집단 평균으로부터 얼마나 차이가 있는지를 나타냅니다.

집단의 크기가 무한대에 가까워지면, 모집단 자체의 특성이 명확히 드러나기 때문에, 집단 간 평균의 차이는 모집단 내 변동과 본질적으로 동일해집니다. 이는 모집단의 변동성만이 반영되기 때문입니다.

집단의 크기가 무한대에 가까워질수록, 집단 간 분산은 무작위 샘플링에 의한 작은 변동을 가지게 되고, 결국 모집단 내에서의 변동과 동일해집니다. 이는 각 집단이 동일한 모집단에서 온다는 가정 하에서 가능합니다.

모집단 내의 모든 데이터는 동일한 분산을 가지기 때문에, 집단의 크기가 무한대에 가까워지면 집단 간 분산과 집단 내 분산은 모집단의 분산을 추정하는 동일한 값으로 수렴합니다