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Q-data : 2
Q&A : 23
Quiz : 180
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일반적으로, 배타적 사건은 종속사건입니다.
배타적 사건은 한 사건이 일어나면 또 다른 사건은 일어나지 않도록 영향을 주므로 종속사건입니다.
특별히, 적어도 하나의 사건의 확률이 0이면 배타적 사건은 독립사건입니다.
배타적 사건 (mutually exclusive events)이란 동시에 발생할 수 없는 사건을 말합니다. 즉, 한 사건이 발생하면 다른 사건은 반드시 발생하지 않습니다.
두 사건 $A$와 $B$가 배타적이라면 , 두 사건이 동시에 발생하는 곱사건의 확률이 0입니다.
$$\rm{P}(A \cap B)=\rm{P}(A|B) \rm{P}(B)=\rm{P}(B|A) \rm{P}(A)=0$$
여기서, $\rm{P}(A|B)=0$ and $\rm{P}(B|A)=0$
두 사건의 합사건의 확률은 다음과 같이 각 사건의 확률의 합과 같습니다.
$$\rm{P}(A \cup B)=\rm{P}(A)+\rm{P}(B)$$
두 배타적 사건의 확률을 합하면 전체 확률을 넘지 않습니다. 그리고, 모든 가능한 배타적 사건의 합사건의 확률은 1이 됩니다.
종속사건 (dependent events)이란 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생 확률에 영향을 미치는 경우를 말합니다. 즉, 두 사건이 영향을 주고받습니다.
두 사건 $A$와 $B$가 종속이라면 , 조건부확률로 표현할 수 있습니다.
$$\rm{P}(A \cap B)=\rm{P}(B|A)\rm{P}(A)=\rm{P}(A|B)\rm{P}(B)$$
여기서, $\rm{P}(A|B) > 0$ and $\rm{P}(B|A) > 0$
카드뽑기: 카드 한 벌에서 첫 번째 카드를 뽑은 후 두 번째 카드를 뽑는 사건. 첫 번째 카드를 뽑은 결과가 두 번째 카드의 결과에 영향을 미칩니다.
독립사건(independent events)이란 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생 확률에 아무런 영향을 미치지 않는 경우를 말합니다. 즉, 두 사건이 서로 어떠한 영향도 주고받지 않습니다.
두 사건 $A$와 $B$가 독립이라면 , 곱사건의 확률을 개별 사건의 확률의 곱으로 쉽게 계산할 수 있습니다.
$$\rm{P}(A \cap B)=\rm{P}(B|A)\rm{P}(A)=\rm{P}(A|B)\rm{P}(B)=\rm{P}(A)\rm{P}(A)$$
여기서, $\rm{P}(B|A)=\rm{P}(B)$ and $\rm{P}(A|B)=\rm{P}(A)$
동전던지기: 두 번 동전을 던질 때, 첫 번째 던지기의 결과가 두 번째 던지기의 결과에 영향을 미치지 않습니다.
상호 배타적 사건 (mutually exclusive and independent events)은 일반적으로 종속사건입니다. 즉, 두 사건이 배타적이라면, 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생을 완전히 배제합니다. 한 사건이 발생하면 다른 사건의 발생확률이 0이 됩니다.
한편, 배타적이면서 독립사건은 거의 불가능하여 현실적으로는 일어나지 않습니다. 그러나 곱사건의 확률이 0이면서 동시에 독립사건의 조건을 만족시키기 위하여 두 사건 중 적어도 하나의 사건의 확률이 0이면 배타적 독립사건이 됩니다.
두 사건 $A$와 $B$가 배타적 이라면, 곱사건의 확률은 0입니다. 그리고 독립이라면 $\rm{P}(B|A)=\rm{P}(B)$이고 $\rm{P}(A|B)=\rm{P}(A)$입니다.
$$\rm{P}(A \cap B)=\rm{P}(B|A)\rm{P}(A)=\rm{P}(A|B)\rm{P}(B)=\rm{P}(A)\rm{P}(A)=0$$
여기서, $\rm{P}(A)=0$ or $\rm{P}(B)=0$
사건의 결과가 실수인 경우 사건의 확률이 0이므로 이 때의 모델링에 사용됩니다.
Figure 1. 사건의 관계유형과 벤다이어그램
Table 1. 사건의 관계 유형
| 관계 유형 | 정의 | 수학적 조건 | 사건상호영향 | 예시 |
|---|---|---|---|---|
| 독립사건 (independent events) | 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생에 영향을 미치지 않음 | $\rm{P}(A \cap B)=\rm{P}(A|B) \rm{P}(B)=\rm{P}(B|A) \rm{P}(A) = \rm{P}(A) \rm{P}(B) $ 여기서, $ \rm{P}(A|B) = \rm{P}(A) $ and $ \rm{P}(B|A) = \rm{P}(B)$ | 없음 (독립) | 두 번의 동전 던지기에서 첫 번째와 두 번째 던지기의 결과 |
| 종속사건 (dependent events) | 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생 확률에 영향을 미침 | $\rm{P}(A \cap B)=\rm{P}(A|B) \rm{P}(B)=\rm{P}(B|A) \rm{P}(A) \neq \rm{P}(A) \rm{P}(B) $ 여기서, $\rm{P}(A|B) > 0$ and $\rm{P}(B|A) > 0$ | 있음 (종속) | 카드 한 벌에서 첫 번째 카드를 뽑은 후 두 번째 카드를 뽑는 사건 |
| 배타적 사건 (mutually exclusive events) | 두 사건이 동시에 발생할 수 없음 | $\rm{P}(A \cap B)=\rm{P}(A|B) \rm{P}(B)=\rm{P}(B|A) \rm{P}(A) = \rm{P}(A) \rm{P}(B)=0$ 여기서, $ \rm{P}(A|B) =0$ and $ \rm{P}(B|A) =0$ | 있음 (종속) | 한 번의 동전 던지기에서 앞면과 뒷면이 동시에 나오는 사건 |
| 배타적 독립사건 | 독립적이면서 동시에 발생할 수 없음 | $\rm{P}(A \cap B) = \rm{P}(A)\rm{P}(B)=0 $ 여기서, $\rm{P}(A) = 0$ or $ \rm{P}(B) = 0$ | 없음 (독립) | 사건 $A$의 확률이 0인 경우 또는 사건 $B$의 확률이 0인 경우 |