지수함수에서 지수가 0일 때, 변화율이 1이 되는 밑의 값은?
목차 자연상수 e(약 2.71828…)입니다. 지수함수에서 밑을 아무 번도 곱하진 않은, 즉 지수가 0인 지수함수의 함수값은 항상 1입니다. $$a^0=1$$ 여기서, $a$는 양의 실수 지수가 0인 지점에서 함수값처럼 변화율(기울기)마저 정확히 1이 되는 특별한 밑이 자연상수 e입니다. $$e^0 = 1 quad (text{함수값}), quad left. frac{d}{dx}e^x right|_{x=0} = 1 quad (text{기울기})$$ 여기서, $left.frac{d}{dx}e^x right|_{x=0} =left.limlimits_{Delta x to 0} frac{e^x( […]
결합확률분포는 조건부분포들의 집합인가요?
목차 네. 결합확률분포는 한 방향으로의 모든 단면(조건부분포)들의 집합입니다. 결합확률분포에서 조건부분포는 조건확률변수의 값이 정해졌을 때 모든 가능한 분포입니다. 연속결합확률분포에서 조건부분포는 특정 조건변수의 값이 주어졌을 때 얻어지는 결합확률분포의 단면입니다. 다만, 단면 자체는 아직 확률분포가 아니며, 이를 확률분포로 만들기 위해서는 그 단면을 얻기 위한 조건변수의 확률밀도를 정규화상수로 사용하여 분포의 적분값이 1이 되도록 합니다. 조건부분포를 확률분포의 조건을 만족하게 조정하여 […]
n개 확률분포의 결합확률분포를 분해할 수 있나요?
목차 네, 연쇄법칙에 따라 n개의 조건부확률분포의 곱으로 분해할 수 있습니다. $n$개의 확률변수 $X_1, X_2, cdots, X_n$의 결합확률분포는 $n$개의 조건부확률분포의 곱으로 분해할 수 있습니다. $$P(X_1, X_2, dots, X_n);=;P(X_1 mid varnothing), P(X_2 mid X_1), P(X_3 mid X_1, X_2), cdots , P(X_n mid X_1, dots, X_{n-1})$$ 여기서, $P(X_1 mid varnothing)$는 조건이 없는 $X_1$의 확률분포, 즉, 주변확률분포: $P(X_1 mid […]
집합에 수학적 구조를 추가한 것은 무엇?
목차 공간(space)이라고 부릅니다. 확률공간(probability space)은 “표본공간”이라는 근원사건(elementary)의 집합(set)에 수학적 구조인 “사건들의 대수($sigma$-algebra)”와 이 대수에 정의된 “확률측도(probability measuer)”를 추가합니다. 사건(event)은 근원사건을 원소로 하는 표본공간의 부분집합입니다. “$sigma$-대수”는 사건들의 유한 합집합에 대해 닫혀 있습니다. 확률공간에서 시그마-대수(代數)는 사건공간이라고도 부르며 사건들에 대해 합, 교, 여집합 등 집합 연산을 수행해도 그 결과가 항상 포함되는 체계입니다. 1. 확률공간 확률공간(probability space)은 표본공간을 정의하고, […]
독립적인 두 확률밀도함수의 곱과 합은 확률분포인가?
CONTENTS 곱(product)은 확률밀도함수가 되나 합(sum)은 정규화가 필요합니다. 1. 독립적인 두 확률밀도함수의 곱 확률변수 X와 Y가 독립(independent)일 때,그들의 공동확률밀도함수(Joint PDF) 는 개별 확률밀도함수의 곱으로 표현됩니다. $$f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y)$$ (1) 비음수 조건$$f_X(x) geq 0, quad f_Y(y) geq 0 Rightarrow f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y) geq 0$$ (y)≥0 이므로 곱도 항상 0 이상입니다.(2) 정규화 조건확률밀도함수는 다음 […]
베이지안 추론 ?
CONTENTS 베이지안 추론은 데이터가 주어진 후 모수에 대한 불확실성을 확률적으로 표현하는 것입니다. 베이지안 추론은 모수의 사전정보와 데이터를 결합해 모수의 사후 확률분포를 추정합니다. 모수의 사전정보는 확률분포(사전분포)입니다. 모수에 대한 초기 믿음이나 정보를 확률분포로 표현한 것입니다. 데이터의 확률분포(우도함수)의 형태는 모수가 어떤 확률분포를 표현하였는 가에 따라서 결정됩니다. 베이지안 추론에서의 모수는 확률변수 $x$의 확률분포를 결정하는 모수가 아니고 조건부확률변수 $x|theta$의 확률분포를 […]
최대우도법?
CONTENTS 최대우도법은 주어진 데이터로 모델하는 확률분포의 모수를 계산하는 방법론입니다. 최대우도법(Maximum Likelihood Method)을 통해 최대가능도추정량이 도출됩니다. 최대가능도추정량(Maximum Likelihood Estimator, MLE)은 추출한 표본데이터에서 우도(가능도)를 최대로 하는 모수의 추정량을 나타내는 수식입니다. https://www.datadata.link/wp-content/uploads/2025/02/ANIMATION-최대우도법-1.mp4 최대우도법 최대우도법(Maximum Likelihood Method, MLM)은 주어진 데이터를 가장 잘 설명하는 확률분포의 모수(parameter)를 점추정하는 방법론입니다. 최대우도법에서는 우도함수(likelihood function) $L$을 최대화하는 모수 값 $hat {theta_{MLE}}$을 최적화 알고리즘으로 찾습니다. […]
연속확률분포에서 분위수와 누적분포함수의 관계는?
CONTENTS 역함수 관계입니다. 분위수(Quantile, $Q(p)$)는 주어진 누적확률값($p$) 보다 큰 누적확률을 가지는 확률변수값 중 가장 작은 값($x$)을 변환하는 함수입니다. $ x=Q(p)$ 누적분포함수(CDF, $F(x)$)는 $-infty$에서 주어진 확률변수값($x$)까지의 누적확률($p$)을 반환하는 함수입니다. $p=F(x)$ 분위수 분위수 $Q(p)$는 누적확률 $p$에 해당하는 확률변수값 $x$를 반환합니다. 즉, 분위수는 분위수(Quantile, $Q(p)$)는 주어진 누적확률값($p$) 보다 큰 누적확률을 가지는 확률변수값 중 가장 작은 값($x$)을 변환하는 함수입니다. […]
조건부사건(A|B)과 곱사건(A$\cap$B)의 표본공간은 같은가?
CONTENTS 조건부사건과 곱사건은 표본공간이 다릅니다. 조건부사건(A|B)의 표본공간은 조건이 되는 사건(B)입니다. 곱사건(A$cap$ B)의 표본공간은 전체 표본공간($Omega$)입니다. 조건부사건의 표본공간 조건부사건 $A|B$는 어떤 기준 사건 $B$가 이미 발생했음을 전제로 합니다. 즉, 조건부사건 $A|B$는 원래의 표본공간 $Omega$가 아니라, 조건이 되는 사건 $B$에 의해 제한되어 새로운 표본공간 $B$에서 정의됩니다. 즉, 조건부사건 $A|B$의 표본공간은 원래의 전체 표본공간 $Omega$에서 부분집합인 $B$로 축소됩니다. […]
두 확률변수가 독립이면 두 확률변수의 사건간 모든 조합도 독립인가?
CONTENTS 네 그렇습니다. 그 역도 성립합니다. 두 확률변수가 독립이면 결합확률분포는 주위확률분포의 곱으로 표현됩니다. 두 확률변수 사이의 관계 두 확률변수 사이의 관계는 확률변수 간의 종속성(dependency), 독립성(independence), 상관성(correlation), 조건부 관계(conditional relationship) 등을 통해 설명됩니다. 독립 관계 두 확률변수가 독립(independent)이라면, 하나의 확률변수 값이 다른 확률변수 값에 영향을 미치지 않습니다. 종속 관계 두 확률변수가 독립이 아니라면, 하나의 확률변수 값이 […]