F통계량의 변수가 등분산가정과 귀무가설에 의해 특정되면, F통계량은 F검정통계량이 됩니다.

등분산가정에 의하여 모든 집단의 분산은 같다고 가정합니다.

$$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\cdots=\sigma^2$$

일원분산분석(ANOVA)에서 귀무가설은 “모집단(population)내 모든 집단(group)의 모평균은 같다”입니다.

$$H_0: \mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k$$

이 귀무가설 하에서 집단(group)의 모분산과 모집단(population)의 분산은 같게 됩니다. 그 이유는 모집단과 모집단내 모든 집단들은 무한집합이고 자유도가 무한대이기 때문입니다. 

$$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\cdots=\sigma^2=\sigma_W^2=\sigma_B^2$$

여기서, $\sigma^2_1$, $\sigma^2_2$, $\cdots$ 는 집단의 모분산

$\sigma^2_W$는 모집단내 집단내분산

$\sigma^2_B$는 모집단내 집단간분산

$\sigma^2$은 모집단의 분산

따라서, F통계량의 함수는 집단간분산과 집단내분산의 비로 됩니다.

$$F_{\text{test}} = \dfrac{\dfrac{\chi^2_B}{df_B}}{\dfrac{\chi^2_W}{df_W}}= \dfrac{\dfrac{S_{B}^2}{\sigma_{B}^2}}{\dfrac{S_{W}^2}{\sigma_{W}^2}}=\dfrac{S_B^2}{S_W^2} \sim F_{df_B, df_W}$$

여기서, $\chi^2_B$는 표본내 집단의 카이제곱: $\chi^2_B=df_B\dfrac{S_B^2}{\sigma_B^2}$

$\chi^2_W$는 표본내 개체의 카이제곱: $\chi^2_W=df_W\dfrac{S_W^2}{\sigma_W^2}$

$df_B$는 표본내 집단의 자유도: $k-1$

$k$는 집단수

$df_W$는 표본내 개체의 자유도: n-k

$n$은 개체수

$S^2_{B}$는 표본내 집단간분산(처리 효과)

$S^2_{W}$는 표본내 집단내분산(오차)

$\sigma^2_{B}$는 모집단내 집단간분산(처리 효과)

$\sigma^2_{W}$는 모집단내 집단내분산(오차)

$F_{\text{test}}$는 F검정통계량이며 F분포를 나타내는 확률변수: $F_{\text{test}} \rightarrow y$

$f(y; d_1, d_2) = \frac{\Gamma(\frac{d_1 + d_2}{2})}{\Gamma(\frac{d_1}{2})\Gamma(\frac{d_2}{2})} \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{\frac{d_1}{2}}\cdot y^{\frac{d_1}{2} – 1} \left(1 + \frac{d_1}{d_2}y\right)^{-\frac{d_1 + d_2}{2}}$

$f(\,\,\,)$는 F분포의 확률밀도함수

$d_1$은 분자의 자유도 (표본내 집단의 자유도): $d_1=df_B=k-1$

$d_2$은 분모의 자유도 (표본내 개체의 자유도): $d_2=df_W=n-k$

$\Gamma(\,\,\,)$는 감마함수